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<!DOCTYPE html>

<title>Ellipsoid</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ellipsoid</h1>

</header>

</div>

Das Ellipsoid ist die <a href="3-dimensional" class="mw-redirect" title="3-dimensional">dreidimensionale</a> Entsprechung einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a>. So wie sich eine Ellipse als <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affines</a> Bild des <a href="Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreises</a> auffassen lässt, gilt:

<ul><li>Ein Ellipsoid (als <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a>) ist ein affines Bild der <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26790310fffdf30f449c78609788054d278dea7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.332ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}" loading="lazy"></li></ul>

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinaten</a>. Sie liefern Ellipsoide mit <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichungen</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{abc}\colon \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad a,b,c>0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1d73bf669bebc2b6da640db47302adc9747c3b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.351ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle E_{abc}\colon \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad a,b,c>0.}" loading="lazy"></li></ul>

So ein Ellipsoid ist <a href="Punktsymmetrisch" class="mw-redirect" title="Punktsymmetrisch">punktsymmetrisch</a> zum Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28c6fd55d5621fd95ca93549660fbb355fd9bd22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0,0)}" loading="lazy">, dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" loading="lazy"> sind analog zu einer Ellipse die Halbachsen des Ellipsoids und die <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9764c4bf1cd4a9138b39e965fe92de8eb16aa05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.333ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)}" loading="lazy"> seine 6 <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkte</a>.

<ul><li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b=c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41dfe5f5f74cb7a2c79093352406fd1d19123882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b=c}" loading="lazy"> ist, ist das Ellipsoid eine <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a>.</li>

<li>Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein prolates oder oblates <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a>.</li>

<li>Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder <a href="Dreiachsiges_Ellipsoid" title="Dreiachsiges Ellipsoid">dreiachsig</a>.</li></ul>

Alle Ellipsoide <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{abc}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{abc}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b96d78d2f98308cceced7b04e70afcb0261c7f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.234ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{abc}}" loading="lazy"> sind <a href="Symmetrie_(Geometrie)#Spiegelsymmetrie" title="Symmetrie (Geometrie)">symmetrisch</a> zu jeder der drei Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt noch die <a href="Rotationssymmetrie" class="mw-redirect" title="Rotationssymmetrie">Rotationssymmetrie</a> bezüglich der <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Rotationsachse</a> hinzu. Eine Kugel ist zu jeder <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der <a href="Rugbyball" title="Rugbyball">Rugbyball</a> und abgeplattete <a href="Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">rotierende</a> <a href="Himmelsk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Himmelskörper">Himmelskörper</a>, etwa die <a href="Erdellipsoid" class="mw-redirect" title="Erdellipsoid">Erde</a> oder andere <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> (<a href="Jupiter_(Planet)" title="Jupiter (Planet)">Jupiter</a>), <a href="Sonne" title="Sonne">Sonnen</a> oder <a href="Galaxie" title="Galaxie">Galaxien</a>. <a href="Elliptische_Galaxie" title="Elliptische Galaxie">Elliptische Galaxien</a> und <a href="Zwergplanet" title="Zwergplanet">Zwergplaneten</a> (z. B. <a href="(136108)_Haumea" title="(136108) Haumea">(136108) Haumea</a>) können auch triaxial sein.

In der <a href="Lineare_Optimierung" title="Lineare Optimierung">Linearen Optimierung</a> werden Ellipsoide in der <a href="Ellipsoid-Methode" class="mw-redirect" title="Ellipsoid-Methode">Ellipsoid-Methode</a> verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a></div>

Die Punkte auf der <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> können wie folgt parametrisiert werden (siehe <a href="Kugelkoordinaten" title="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</a>):

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&\sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&\sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&\cos \theta \end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3099f6bf3df441b2ece586a1de9ddd6d7981c999.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:19.565ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&\sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&\sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&\cos \theta \end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für den <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> (von der z-Achse aus gemessen) gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f85d6a6521db7f3738e48ea472c8d88f0c4e0c12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }" loading="lazy">. Für den Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> (von der x-Achse aus gemessen) gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d07ebffe3181ca98c6933cf63cb31d5247fab3f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.374ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }" loading="lazy">.

Skaliert man die einzelnen <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinaten</a> mit den <a href="Faktor_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Faktor (Mathematik)">Faktoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" loading="lazy">, so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{abc}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{abc}}</annotation>

</semantics>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&a\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&b\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&c\cdot \cos \theta \end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efab44922dddc89496fdd92b23c9635a323dd9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:22.474ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&a\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&b\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&c\cdot \cos \theta \end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f85d6a6521db7f3738e48ea472c8d88f0c4e0c12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi .}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfc4ca60655cbea1accc4e20641f1bf82b37293a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.021ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi .}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Volumen">Volumen</h2></div>

Das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> des Ellipsoids <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{abc}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{abc}}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c97b4d4165be7ec43988fe62a95c818b0abf0eb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.097ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}" loading="lazy"></dd></dl>

Eine <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a> mit <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> hat das Volumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}.}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13191b552f419d7ade7f65f2047398c17f515991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.626ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}.}" loading="lazy">

<dl><dt>Herleitung</dt></dl>

Der Schnitt des Ellipsoids <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{abc}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{abc}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b96d78d2f98308cceced7b04e70afcb0261c7f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.234ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{abc}}" loading="lazy"> mit einer <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> in der <a href="H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> ist die <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9eb518cf3a62ec823d0e1f16414ee267917844d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.193ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}" loading="lazy"> mit den Halbachsen

<msup>

</msup>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'=a{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}},\ b'=b{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4ee71de0ee0a9ba432831472087f611acf01239.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.25ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle a'=a{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}},\ b'=b{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der <a href="Ellipse#Flächeninhalt" title="Ellipse">Flächeninhalt</a> dieser Ellipse ist

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(z)=\pi a'b'=\pi ab\left(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e3440b4ba38b2dab635a950e31ed123fc783b3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.117ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle A(z)=\pi a'b'=\pi ab\left(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Volumen ergibt sich dann aus

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-c}^{c}A(z)\ \mathrm {d} z=\pi ab\int _{-c}^{c}\left(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {d} z={\frac {4}{3}}\pi abc.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22ec78750e6220d8c83ee126bff1a5779baffd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:46.515ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-c}^{c}A(z)\ \mathrm {d} z=\pi ab\int _{-c}^{c}\left(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {d} z={\frac {4}{3}}\pi abc.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Oberfläche">Oberfläche</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberfläche_eines_Rotationsellipsoids">Oberfläche eines Rotationsellipsoids</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a></div>

Die <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Oberfläche</a> eines <a href="Abplattung" title="Abplattung">abgeplatteten</a> Rotationsellipsoids <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{aac}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{aac}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f81c04c72eb2b6fb87773a5b86672fc11f0346e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.399ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{aac}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/555821d1966fad5b635b19d54e36d88b3623b991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle a>c}" loading="lazy"> ist

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arsinh</mi>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3a6e585d39737c217123d383cfd1a9554367762.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.107ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right),}" loading="lazy"></dd></dl>

die des <a href="Verl%C3%A4ngertes_Ellipsoid" title="Verlängertes Ellipsoid">verlängerten Ellipsoids</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c>a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c>a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8035c5151ae8e735de542149a111325a3a47a98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle c>a}" loading="lazy">)

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed3af84635ef8dbf61fa61e20fb2d2a9fdebad5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.847ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> hat die Oberfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=4\pi r^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\pi r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca925588619ce34da35b2c2ffb5b267e313d50ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.439ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=4\pi r^{2}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberfläche_eines_triaxialen_Ellipsoids">Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids</h3></div>

Die <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Oberfläche</a> eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> ausdrücken, die man als <a href="Elementare_Funktion" title="Elementare Funktion">elementar</a> ansieht, wie z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arsinh} }">

<mi>arsinh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arsinh} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78e4506c4572caf5a4700de12122e9690f1f9d3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.222ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arsinh} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin }">

<mi>arcsin</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/627fcadc0495786c9167c5487a1a795bb1940edd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.962ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin }" loading="lazy"> oben beim <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a>. Die Flächenberechnung gelang <a href="Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Adrien-Marie Legendre</a> mit Hilfe der <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptischen Integrale</a>. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>b>c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>b>c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3756bee44d7cb7e6221499eedb579fb848d2e5ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>b>c}" loading="lazy">. Schreibt man

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

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<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

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</msqrt>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab15a153ae4e254e313be10367879b547624654d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.721ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}},}">

<mi>arcsin</mi>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62ccef22cc8837b73dfe71c565679ff7138106c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.96ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}},}" loading="lazy"></dd></dl>

so lauten die <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrale</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c050589407f3e034a3bf81c35e1dfb5b14af71f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.028ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c07605aedf65ee548cde98378b5490ba6cd21e36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.351ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Oberfläche hat mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> nach Legendre<a href="#cite_note-1">[1]</a> den Wert

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/296382cb03c25dee35a4861d297f1577fa65960b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:54.696ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Werden die <a href="Ausdruck_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Ausdruck (Mathematik)">Ausdrücke</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> sowie die <a href="Substitution_(Mathematik)" title="Substitution (Mathematik)">Substitutionen</a>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u:={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b86ff872f7d16d06038a2249beefe63057b290b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.42ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle u:={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v:={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04b884b8027c8ddf0c0c08bf5a5258051d8ba819.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.986ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle v:={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}}" loading="lazy"></dd></dl>

in die <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/706e63a9f32ab8946f60927631f336c019e5b451.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.925ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Von Knud Thomsen stammt die integralfreie <a href="N%C3%A4herungsformel" class="mw-redirect" title="Näherungsformel">Näherungsformel</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msup>

<mrow>

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<mrow>

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<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

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<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx 4\pi \left({\frac {(ab)^{\frac {8}{5}}+(ac)^{\frac {8}{5}}+(bc)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc2c7153b99394f3d947433f9024676333615dce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:37.406ex; height:10.009ex;" alt="{\displaystyle A\approx 4\pi \left({\frac {(ab)^{\frac {8}{5}}+(ac)^{\frac {8}{5}}+(bc)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(c\to 0\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(c\to 0\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de1877930faca6cf84da308a14a9a13dafad7f06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.593ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(c\to 0\right)}" loading="lazy"> streben alle drei angegebenen <a href="Formel" title="Formel">Formeln</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi ab,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi ab,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0be44ba692c0e6f70f1873225c138984551e17ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.369ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\pi ab,}" loading="lazy"> den doppelten Wert des <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalts</a> einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> mit den Halbachsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbeispiel_zu_den_Formeln">Anwendungsbeispiel zu den Formeln</h2></div>

Der Planet Jupiter ist wegen der durch die schnelle Rotation wirkenden <a href="Zentrifugalkraft" title="Zentrifugalkraft">Zentrifugalkräfte</a> an den Polen deutlich flacher als am Äquator und hat annähernd die Form eines <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoids</a>.

Der Jupiter hat den Äquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km. Also gilt für die Halbachsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b=71492\ \mathrm {km} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b=71492\ \mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e858a072a95f2d728e2680a05414f04495e49bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b=71492\ \mathrm {km} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=66854\ \mathrm {km} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=66854\ \mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d9cad00b7aed82ff773c62e6cb58dcdfa05964a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.662ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=66854\ \mathrm {km} }" loading="lazy">. Die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> des Jupiter beträgt etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc31cae6ce29df57053217773cc30c8fe186e9d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.147ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }" loading="lazy">. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten <a href="Mathematische_Formel" class="mw-redirect" title="Mathematische Formel">Formeln</a> für das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a>, die mittlere <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a> und die <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Oberfläche</a>:

<ul><li>Volumen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\approx 1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\approx 1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88f11e3600e53be80d00f666ff67f7eb53e2035f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.403ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\approx 1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Das ist etwa 1321-mal so viel wie das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> der Erde.</dd></dl>

<ul><li>Mittlere Dichte: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{24}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 1327\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}} }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{24}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 1327\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a867517f6fb3f6cd3a882fc252379e47884fe8c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:62.965ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{24}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 1327\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}} }" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Der Jupiter hat also insgesamt eine etwas höhere <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a> als Wasser unter <a href="Standardbedingungen" title="Standardbedingungen">Standardbedingungen</a>.</dd></dl>

<ul><li>Oberfläche: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\approx 4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(a\cdot b)^{\frac {8}{5}}+(a\cdot c)^{\frac {8}{5}}+(b\cdot c)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}\approx 6{,}15\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{2}} }">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx 4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(a\cdot b)^{\frac {8}{5}}+(a\cdot c)^{\frac {8}{5}}+(b\cdot c)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}\approx 6{,}15\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{2}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8abac1030293e4a2aad3742c59640062ea86d71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:63.066ex; height:10.009ex;" alt="{\displaystyle A\approx 4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(a\cdot b)^{\frac {8}{5}}+(a\cdot c)^{\frac {8}{5}}+(b\cdot c)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}\approx 6{,}15\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{2}} }" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Das ist etwa 121-mal so viel wie die <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Oberfläche</a> der Erde.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ebene_Schnitte">Ebene Schnitte</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> ist

<ul><li>eine <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a>, falls er wenigstens zwei Punkte enthält,</li>

<li>ein <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a>, falls die Ebene eine <a href="Tangentialebene" title="Tangentialebene">Tangentialebene</a> ist,</li>

<li>andernfalls <a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">leer</a>.</li></ul>

Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a> in einem <a href="Kreis" title="Kreis">Kreis</a> schneidet und ein Kreis bei einer <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affinen Abbildung</a> in eine Ellipse übergeht. Dass einige der Schnittellipsen Kreise sind, ist bei einem <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a> offensichtlich: Alle ebenen Schnitte, die wenigstens 2 Punkte enthalten und deren Ebenen senkrecht zur <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Rotationsachse</a> sind, sind Kreise. Dass aber auch jedes 3-achsige Ellipsoid Kreise enthält, ist nicht offensichtlich und wird im Artikel <a href="Kreisschnittebene" title="Kreisschnittebene">Kreisschnittebene</a> erklärt.

Der <a href="Umrisskonstruktion" title="Umrisskonstruktion">wahre Umriss</a> eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei <a href="Parallelprojektion" title="Parallelprojektion">Parallelprojektion</a> als auch bei <a href="Zentralprojektion" title="Zentralprojektion">Zentralprojektion</a> ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_einer_Schnittellipse">Bestimmung einer Schnittellipse</h3></div>

Gegeben: Ellipsoid <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68f83fa62cd61acf1ca6e1a1ab024fc7bf317df1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.193ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}" loading="lazy"> und eine Ebene mit der <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z=d,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z=d,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dbeb37285f4bab5c5682e8662241b825fd7f28c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.623ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z=d,}" loading="lazy"> die das Ellipsoid in einer Ellipse schneidet. Gesucht: Drei <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ae526b00782f0150985cd3fa027d82369c0abd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.719ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}" loading="lazy"> (<a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50eaca08529d3507b9cb4a288f2447b22d735f72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.117ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}" loading="lazy"> (konjugierte Vektoren) so, dass die Schnittellipse durch die <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f436e646b8234d29b0bfa1d3da4d6af584b7aec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.46ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}" loading="lazy"></dd></dl>

beschrieben werden kann (siehe <a href="Ellipse#Ellipse_als_affines_Bild_des_Einheitskreises" title="Ellipse">Ellipse</a>).

Lösung: Die Skalierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u={\frac {x}{a}}\ ,\ v={\frac {y}{b}}\,\ w={\frac {z}{c}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u={\frac {x}{a}}\ ,\ v={\frac {y}{b}}\,\ w={\frac {z}{c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54ad3f9f48f20c6f1741318fd4a59f78aef42c1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.662ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle u={\frac {x}{a}}\ ,\ v={\frac {y}{b}}\,\ w={\frac {z}{c}}}" loading="lazy"> führt das Ellipsoid in die <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e817edbffc7ac3943e53331623518824c6985827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.226ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}=1}" loading="lazy"> und die gegebene <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> in die Ebene mit der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e0bff6e1123556199b205ace41f7c2aa8875fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.758ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d}" loading="lazy"> über. Die <a href="Hesse-Normalform" class="mw-redirect" title="Hesse-Normalform">Hesse-Normalform</a> der neuen Ebene sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{u}u+m_{v}v+m_{w}w=\delta }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{u}u+m_{v}v+m_{w}w=\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be81b2303334464ce977ec96cb9f383781175df2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.682ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m_{u}u+m_{v}v+m_{w}w=\delta }" loading="lazy"> mit dem <a href="Normaleneinheitsvektor" class="mw-redirect" title="Normaleneinheitsvektor">Normaleneinheitsvektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {m}}=(m_{u},m_{v},m_{w})^{T}.}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {m}}=(m_{u},m_{v},m_{w})^{T}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a24adf2cfcc1a98fe2de024244e2359892c3c742.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.784ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {m}}=(m_{u},m_{v},m_{w})^{T}.}" loading="lazy"> Dann ist der <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> des Schnittkreises <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\delta \;{\vec {m}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\delta \;{\vec {m}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/499c361276f3892ce36455affdf7b0ce4729558f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.11ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\delta \;{\vec {m}}}" loading="lazy"> und dessen <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}.}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbb923d1700dbfc63d1be0c67dc2df2d29211e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.382ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}.}" loading="lazy"> Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{w}=\pm 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{w}=\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6cb60d3fdd3c0213f7b4ed87e532feaddcfbefd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.518ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m_{w}=\pm 1}" loading="lazy"> ist, sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(\rho ,0,0)^{T},\ {\vec {e}}_{2}=(0,\rho ,0)^{T}.}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(\rho ,0,0)^{T},\ {\vec {e}}_{2}=(0,\rho ,0)^{T}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69b216df8df7fd5d6a0e24beb40fe7408d310aa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.6ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(\rho ,0,0)^{T},\ {\vec {e}}_{2}=(0,\rho ,0)^{T}.}" loading="lazy"> (Die Ebene ist horizontal!) Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{w}\neq \pm 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{w}\neq \pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d8da044a7e99b18966263ec8b4b24bb9fa44b70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.518ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m_{w}\neq \pm 1}" loading="lazy"> ist, sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=\rho \,{\frac {(m_{v},-m_{u},0)^{T}}{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}},\ {\vec {e}}_{2}={\vec {m}}\times {\vec {e}}_{1}.}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=\rho \,{\frac {(m_{v},-m_{u},0)^{T}}{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}},\ {\vec {e}}_{2}={\vec {m}}\times {\vec {e}}_{1}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5f9bbc471dca0b52e006382d448eb6d9784de24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:37.116ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=\rho \,{\frac {(m_{v},-m_{u},0)^{T}}{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}},\ {\vec {e}}_{2}={\vec {m}}\times {\vec {e}}_{1}.}" loading="lazy"> Die <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a03096cb1626c143ad3bd9473c694b2ac889ca85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.589ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}" loading="lazy"> sind in jedem Fall zwei in der Schnittebene liegende orthogonale Vektoren der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> (Kreisradius), d. h., der Schnittkreis wird durch die Parameterdarstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/028ef0ef0f3579f4a4ebcedc013c49cc1809e797.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.135ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t}" loading="lazy"> beschrieben.

Macht man nun die obige Skalierung (<a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildung</a>) rückgängig, so wird die Einheitskugel wieder zum gegebenen Ellipsoid und man erhält aus den Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12fdd38bfc6ef7a56ee7f64b21cb60eca51be7da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.9ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}" loading="lazy"> die gesuchten Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0583853158e69e51d160d215326363e456e6b23a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.225ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}" loading="lazy">, mit denen man die Schnittellipse beschreiben kann. Wie man daraus die <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkte</a> der Ellipse und damit ihre Halbachsen bestimmt, wird unter <a href="Ellipse#Ellipse_als_affines_Bild_des_Einheitskreises" title="Ellipse">Ellipse</a> erklärt.

Beispiel: Die Bilder gehören zu dem Beispiel mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=4,\;b=5,\;c=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=4,\;b=5,\;c=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda8dffad60eb97206db03615335762ea957c189.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.375ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=4,\;b=5,\;c=3}" loading="lazy"> und der Schnittebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+y+z=5.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y+z=5.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe89fdc93db66dbe99012fa4c6d4d0416003c66e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.162ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+y+z=5.}" loading="lazy"> Das Bild des Ellipsoidschnittes ist eine senkrechte <a href="Parallelprojektion" title="Parallelprojektion">Parallelprojektion</a> auf eine Ebene parallel zur Schnittebene, d. h., die Ellipse erscheint bis auf eine uniforme Skalierung in wahrer Gestalt. Man beachte, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ae526b00782f0150985cd3fa027d82369c0abd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.719ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}" loading="lazy"> hier im Gegensatz zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/686ab9780c489d02208a20dfdccb4c0365f415e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{0}}" loading="lazy"> nicht auf der Schnittebene senkrecht steht. Die <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50eaca08529d3507b9cb4a288f2447b22d735f72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.117ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}" loading="lazy"> sind hier im Gegensatz zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fc72c0f6efc243a3fd4ef49c8b81c62a2b7cb95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.234ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2}}" loading="lazy"> nicht <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonal</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fadenkonstruktion">Fadenkonstruktion</h2></div>

Die Fadenkonstruktion eines Ellipsoids ist eine Übertragung der Idee der <a href="Ellipse#Gärtnerkonstruktion" title="Ellipse">Gärtnerkonstruktion</a> einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> (siehe Abbildung). Eine Fadenkonstruktion eines <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoids</a> ergibt sich durch Konstruktion der Meridian-Ellipsen mit Hilfe eines Fadens.

Punkte eines 3-achsigen Ellipsoids mit Hilfe eines gespannten Fadens zu konstruieren ist etwas komplizierter. <a href="Wolfgang_Boehm_(Mathematiker)" title="Wolfgang Boehm (Mathematiker)">Wolfgang Boehm</a> schreibt in dem Artikel Die Fadenkonstruktion der Flächen zweiter Ordnung<a href="#cite_note-3">[3]</a> die Grundidee der Fadenkonstruktion eines Ellipsoids dem schottischen Physiker <a href="James_Clerk_Maxwell" title="James Clerk Maxwell">James Clerk Maxwell</a> (1868) zu. <a href="Otto_Staude" title="Otto Staude">Otto Staude</a> hat in Arbeiten 1882, 1886, 1898<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> die Fadenkonstruktion dann auf <a href="Quadrik" title="Quadrik">Quadriken</a> verallgemeinert. Die Fadenkonstruktion für Ellipsoide und <a href="Hyperboloid" title="Hyperboloid">Hyperboloide</a> wird auch in dem Buch Anschauliche Geometrie<a href="#cite_note-7">[7]</a> von <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> und <a href="Stefan_Cohn-Vossen" title="Stefan Cohn-Vossen">Stefan Cohn-Vossen</a> beschrieben. Auch <a href="Sebastian_Finsterwalder" title="Sebastian Finsterwalder">Sebastian Finsterwalder</a> beschäftigte sich 1886 mit diesem Thema.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<dl><dt>Konstruktionsschritte</dt>

<dd>(1) Man wähle eine <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> und eine <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>, die ein Paar von <a href="Fokalkegelschnitt" title="Fokalkegelschnitt">Fokalkegelschnitten</a> bilden:

<dl><dd>Ellipse: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4bb14d1e11ea240333124043a370499b4255728.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.026ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)}" loading="lazy"> und</dd>

<dd>Hyperbel: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\quad ,\ c^{2}=a^{2}-b^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\quad ,\ c^{2}=a^{2}-b^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6445d0f14cbb270759dbcaa95056793c7db2db93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.928ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\quad ,\ c^{2}=a^{2}-b^{2}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>mit den <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkten</a> und <a href="Brennpunkt_(Geometrie)" title="Brennpunkt (Geometrie)">Brennpunkten</a> der Ellipse

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\ F_{1}=(c,0,0),\ F_{2}=(-c,0,0),\ S_{2}=(-a,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77564e7b919fe60a480a1de44b3480cc03996669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.191ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\ F_{1}=(c,0,0),\ F_{2}=(-c,0,0),\ S_{2}=(-a,0,0)}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>und einen Faden (in der Abbildung Bild rot) der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy">.</dd>

<dd>(2) Man befestige das eine Ende des Fadens im Scheitelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1}}" loading="lazy"> und das andere Ende im Brennpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fd17e0779153d765b40ebef91533489b87b2e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}}" loading="lazy">. Der Faden wird in einem <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> so gespannt gehalten, dass der Faden von hinten auf der Hyperbel und von vorn auf der Ellipse gleiten kann (siehe Abbildung). Der Faden geht über denjenigen Hyperbelpunkt, mit dem die Entfernung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1}}" loading="lazy"> über einen Hyperbelpunkt minimal wird. Analoges gilt für den Fadenteil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}}</annotation>

</semantics>

<dd>(3) Wählt man den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> so, dass er positive y- und z-<a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinaten</a> hat, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e500c7e7f2326ce8d813647ade49e42b0a7ecbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:19.193ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1}" loading="lazy"> und</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)\ ,\quad r_{y}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}\ ,\quad r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c897d5ca525a5927fb32dd362e4f32d83da9250.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:55.72ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)\ ,\quad r_{y}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}\ ,\quad r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>(4) Die restlichen Punkte des Ellipsoids erhält man durch geeignetes Umspannen des Fadens an den Fokalkegelschnitten.</dd></dl>

Die Gleichungen für die Halbachsen des erzeugten Ellipsoids ergeben sich, wenn man den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> in die beiden <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\ Z=(0,0,r_{z})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\ Z=(0,0,r_{z})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a74350d97ed31d0b935c18bd38c323af027fa2ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.818ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\ Z=(0,0,r_{z})}" loading="lazy"> fallen lässt:

Aus der unteren Zeichnung erkennt man, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1},F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1},F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddbaefad7d000285a069031a623cdc454e4b79e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1},F_{2}}" loading="lazy"> auch die <a href="Brennpunkt_(Geometrie)" title="Brennpunkt (Geometrie)">Brennpunkte</a> der Äquatorellipse sind. D. h.: Die Äquatorellipse ist <a href="Konfokale_Kegelschnitte" title="Konfokale Kegelschnitte">konfokal</a> zur gegebenen Fokalellipse. Also ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=2r_{x}+(a-c)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=2r_{x}+(a-c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfbf92c9f5a47d8b4560c1f6d71a5dae0c739f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l=2r_{x}+(a-c)}" loading="lazy">, woraus sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4b1c38da7d9fec7a7fde6b247eef62810a066b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.738ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)}" loading="lazy"> ergibt. Ferner erkennt man, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{y}^{2}=r_{x}^{2}-c^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{y}^{2}=r_{x}^{2}-c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b5f783ce41cf0779274a4257d52c3e92c9e129b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.324ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r_{y}^{2}=r_{x}^{2}-c^{2}}" loading="lazy"> ist. Aus der oberen Zeichnung ergibt sich: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1},S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1},S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05289e5891f97d54bdc946771362aedd6bb76917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.992ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1},S_{2}}" loading="lazy"> sind die Brennpunkte der Ellipse in der x-z-<a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> und es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{z}^{2}=r_{x}^{2}-a^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{z}^{2}=r_{x}^{2}-a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/404bb9a4d9bf81152882db483b3e8e573192f5b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.547ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r_{z}^{2}=r_{x}^{2}-a^{2}}" loading="lazy">.

Umkehrung: Möchte man ein durch seine Gleichung gegebenes 3-achsiges Ellipsoid <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> mit den Halbachsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x},r_{y},r_{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x},r_{y},r_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c32b2530cd4e81bdce43b0aab48beb71faed0c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.437ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{x},r_{y},r_{z}}" loading="lazy"> konstruieren, so lassen sich aus den Gleichungen im Schritt (3) die für die Fadenkonstruktion nötigen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55e5e377020203e03a8c19bc70bd84e6eb3fc8d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.989ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,l}" loading="lazy"> berechnen. Für die folgenden Überlegungen wichtig sind die Gleichungen

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\ r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db58a40933193d1dc9168374d0d6eb6277ff6286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:56.584ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle :\ r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Konfokale Ellipsoide: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5eda78acf40a35f89df13b66d0407d3b940acab5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.48ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}" loading="lazy"> ein zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\ {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a67e686937096ddfda97a0a58737c78dde604454.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:44.314ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle :\ {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda ,}" loading="lazy"></dd></dl>

so erkennt man aus den vorigen Gleichungen, dass die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5eda78acf40a35f89df13b66d0407d3b940acab5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.48ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}" loading="lazy"> gehörigen Fokalkegelschnitte für die Fadenerzeugung dieselben Halbachsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" loading="lazy"> wie die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> besitzen. Deshalb fasst man – analog der Rolle der <a href="Brennpunkt_(Geometrie)" title="Brennpunkt (Geometrie)">Brennpunkte</a> bei der Fadenerzeugung einer Ellipse – die Fokalkegelschnitte eines 3-achsigen Ellipsoids als deren unendlich viele Brennpunkte auf und nennt sie Fokalkurven des Ellipsoids.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

Auch die Umkehrung ist richtig: Wählt man einen zweiten Faden der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {l}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/334e4ddd1db99bab51300576cbdc346a2f033c5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.808ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {l}}}" loading="lazy"> und setzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a65ecfcd4f2649ea29fd40dc6a471e1c32d873f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.851ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}" loading="lazy">, so gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\ {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda .}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\ {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74644faf45c5610bdcb0d0b7d1c81c7b7c4a0d2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:25.491ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\ {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda .}" loading="lazy"> D. h.: Die beiden Ellipsoide sind konfokal.

Grenzfall <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a>: Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1beb3f1b1ad87e99791ba713839204a88b27239a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a=c}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1}=F_{1},\;S_{2}=F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}=F_{1},\;S_{2}=F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb1ec6f346234c478e40598a35e4f245a1ad1587.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.932ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1}=F_{1},\;S_{2}=F_{2}}" loading="lazy">, d. h., die Fokalellipse artet in eine Strecke und die <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a> in zwei <a href="Strahl_(Geometrie)" title="Strahl (Geometrie)">Strahlen</a> auf der x-Achse aus. Das Ellipsoid ist dann ein Rotationsellipsoid mit der x-Achse als <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Rotationsachse</a>. Es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x}={\tfrac {l}{2}},\;r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}={\tfrac {l}{2}},\;r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/544f97db5787e4f07d691e555f0c9aa44a33db5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:28.448ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle r_{x}={\tfrac {l}{2}},\;r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}" loading="lazy">.

Eigenschaften der Fokalhyperbel: Betrachtet man ein Ellipsoid von einem außerhalb gelegenen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> an die Hyperbel ist.<a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> Lässt man den Augpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ins Unendliche laufen, entsteht die Ansicht einer senkrechten <a href="Parallelprojektion" title="Parallelprojektion">Parallelprojektion</a> mit einer <a href="Asymptote" title="Asymptote">Asymptote</a> der Fokalhyperbel als Projektionsrichtung. Die <a href="Umrisskonstruktion" title="Umrisskonstruktion">wahre Umrisskurve</a> auf dem Ellipsoid ist im Allgemeinen kein Kreis. In der Abbildung ist unten links eine Parallelprojektion eines 3-achsigen Ellipsoids (Halbachsen: 60, 40, 30) in Richtung einer Asymptote und unten rechts eine <a href="Zentralprojektion" title="Zentralprojektion">Zentralprojektion</a> mit Zentrum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> auf der Tangente an die Hyperbel in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> der <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> des Umrisskreises, rechts ist der Hauptpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

Die Fokalhyperbel eines Ellipsoids schneidet das Ellipsoid in seinen vier <a href="Nabelpunkt" class="mw-redirect" title="Nabelpunkt">Nabelpunkten</a>.<a href="#cite_note-12">[12]</a>

Eigenschaft der Fokalellipse: Die Fokalellipse mit ihrem Inneren kann als <a href="Grenzfl%C3%A4che" title="Grenzfläche">Grenzfläche</a> der durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> bestimmten Schar von konfokalen Ellipsoide für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{z}\to 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{z}\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06e0481a91dddd073574ecb497b7df55497b0225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.827ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{z}\to 0}" loading="lazy"> als unendlich dünnes Ellipsoid angesehen werden. Es ist dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x}=a,\;r_{y}=b,\;l=3a-c.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}=a,\;r_{y}=b,\;l=3a-c.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e8ddebb473ee1ba0e915985a4d29d7ed28b3edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r_{x}=a,\;r_{y}=b,\;l=3a-c.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ellipsoid_in_beliebiger_Lage">Ellipsoid in beliebiger Lage</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parameterdarstellung_2">Parameterdarstellung</h3></div>

Eine <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildung</a> lässt sich durch eine <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Parallelverschiebung</a> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ae526b00782f0150985cd3fa027d82369c0abd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.719ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}" loading="lazy"> und eine <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">reguläre</a> 3×3-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+x{\vec {f}}_{1}+y{\vec {f}}_{2}+z{\vec {f}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5352c98396678906bce3d9b56b3c1f7acc7b433c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.645ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+x{\vec {f}}_{1}+y{\vec {f}}_{2}+z{\vec {f}}_{3}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

Die <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> und der Beschreibung einer affinen Abbildung:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{3}\sin \theta ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2,\ 0\leq \varphi <2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74b842756cf08dad99864ec536d631f31579692e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:87.261ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{3}\sin \theta ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2,\ 0\leq \varphi <2\pi }" loading="lazy"></dd></dl>

Umgekehrt gilt: Wählt man einen <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ae526b00782f0150985cd3fa027d82369c0abd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.719ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}" loading="lazy"> beliebig und die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca9be64134bc95772a521100b1190af3d2fee43f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.225ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}" loading="lazy"> beliebig, aber <a href="Linear_unabh%C3%A4ngig" class="mw-redirect" title="Linear unabhängig">linear unabhängig</a>, so beschreibt die obige <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca9be64134bc95772a521100b1190af3d2fee43f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.225ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}" loading="lazy"> ein <a href="Orthogonalsystem" title="Orthogonalsystem">Orthogonalsystem</a>, so sind die <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{i},\ i=1,2,3}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{i},\ i=1,2,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/282a154dceb23ce03fabf9df906342c293819f6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.095ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{i},\ i=1,2,3}" loading="lazy"> die <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkte</a> des Ellipsoids und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|,|{\vec {f}}_{2}|,|{\vec {f}}_{3}|}">

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|,|{\vec {f}}_{2}|,|{\vec {f}}_{3}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/996d4d7abf22008638853b19f251e7f9b84d5938.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.106ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|,|{\vec {f}}_{2}|,|{\vec {f}}_{3}|}" loading="lazy"> die zugehörigen Halbachsen.

Ein <a href="Normalenvektor" title="Normalenvektor">Normalenvektor</a> im <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49378df5a954a5038c081aecd3acddd20b80cc72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )}" loading="lazy"> ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{2}\times {\vec {f}}_{3}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{3}\times {\vec {f}}_{1}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{1}\times {\vec {f}}_{2}\sin \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f9dbecc78969ba810bac73f8a80e05fa2d8d7db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.69ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{2}\times {\vec {f}}_{3}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{3}\times {\vec {f}}_{1}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{1}\times {\vec {f}}_{2}\sin \theta }" loading="lazy"></dd></dl>

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine <a href="Implizite_Fl%C3%A4che" title="Implizite Fläche">implizite</a> Beschreibung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y,z)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,z)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0796f292c93e738b5c7c46a9aea6023ceb2d8ec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.452ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,z)=0}" loading="lazy"> angeben. Für ein Ellipsoid mit <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> im <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a>, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}=(0,0,0)^{T}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}=(0,0,0)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/803dc776afa0e7e9cb99129d0f6b7a9dd98f70b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.571ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}=(0,0,0)^{T}}" loading="lazy">, ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} ({\vec {x}},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {x}},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {x}})^{2}\;-\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80684c980982334fd3f44976ec5ca5990a525556.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:90.047ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} ({\vec {x}},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {x}},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {x}})^{2}\;-\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

eine implizite Darstellung.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem eventuell schiefen <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ae526b00782f0150985cd3fa027d82369c0abd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.719ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}" loading="lazy"> (<a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a>), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ellipsoid_als_Quadrik">Ellipsoid als Quadrik</h3></div>

Ein beliebiges Ellipsoid mit <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})^{\top }A\,({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52f5f59795ec2297800706f0c2510f19bf2cd8e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.299ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})^{\top }A\,({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})=1}" loading="lazy"></dd></dl>

schreiben, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

Die <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> der <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die <a href="Eigenwerte" class="mw-redirect" title="Eigenwerte">Eigenwerte</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sind die <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">Kehrwerte</a> der Quadrate der Halbachsen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbecdccf102d1e32bb76f6079b283352aec4df73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.563ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-2}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{-2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{-2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51f7411d1c9b892dd0d025b35701da226d74dc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.33ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{-2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{-2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{-2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d2f059b44c0119a3fd80d157590d2cd16fc751b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.34ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c^{-2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ellipsoid_in_der_projektiven_Geometrie">Ellipsoid in der projektiven Geometrie</h2></div>

Schließt man den <a href="3-dimensional" class="mw-redirect" title="3-dimensional">3-dimensionalen</a> <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affinen Raum</a> und die einzelnen <a href="Quadrik" title="Quadrik">Quadriken</a> <a href="Projektiver_Raum" title="Projektiver Raum">projektiv</a> durch eine <a href="Fernebene" class="mw-redirect" title="Fernebene">Fernebene</a> bzw. Fernpunkte ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive <a href="Kollineation" title="Kollineation">Kollineation</a>, die die eine Quadrik in die andere überführt:

<ul><li>Ellipsoid, elliptisches <a href="Paraboloid" title="Paraboloid">Paraboloid</a> und 2-schaliges <a href="Hyperboloid" title="Hyperboloid">Hyperboloid</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoid</a></li>

<li><a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid" title="Trägheitsellipsoid">Trägheitsellipsoid</a></li>

<li><a href="Indexellipsoid" title="Indexellipsoid">Indexellipsoid</a></li>

<li><a href="Hom%C3%B6oid" title="Homöoid">Homöoid</a></li>

<li><a href="Fokaloid" title="Fokaloid">Fokaloid</a></li>

<li><a href="Konfokale_Quadriken" class="mw-redirect" title="Konfokale Quadriken">Konfokale Quadriken</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?path=05000000.Mathematics%2f01000300.Volume%20and%20surface%20area%2f13000600.Volume%20of%20an%20ellipsoid%2fdefault.xml&charset=utf-8">Online-Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Ellipsoids</a> (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150203063110/http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/SurfaceEllipsoid/SurfEll.html">Herleitung der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids.</a> Juli 2003, archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fpi.physik.uni-bonn.de%2F%7Edieckman%2FSurfaceEllipsoid%2FSurfEll.html">Original</a> am 3. Februar 2015; abgerufen am 3. Februar 2015 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AEllipsoid&rft.title=Herleitung+der+Formel+f%C3%BCr+die+Oberfl%C3%A4che+eines+Ellipsoids&rft.description=Herleitung+der+Formel+f%C3%BCr+die+Oberfl%C3%A4che+eines+Ellipsoids&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20150203063110%2Fhttp%3A%2F%2Fpi.physik.uni-bonn.de%2F%7Edieckman%2FSurfaceEllipsoid%2FSurfEll.html&rft.date=2003-07&rft.source=http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/SurfaceEllipsoid/SurfEll.html&rft.language=en"> </li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/ellipsoid.html">Mathematische Basteleien: Ellipsoid</a></li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Ellipsoid.html">Ellipsoid.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euleriennes</a>, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Suzanne M. Kresta, Arthur W. Etchells III, David S. Dickey, Victor A. Atiemo-Obeng (Hrsg.): Advances in Industrial Mixing: A Companion to the Handbook of Industrial Mixing. John Wiley & Sons, 11. März 2016, ISBN 978-0-470-52382-7, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=fia8CwAAQBAJ&pg=PA524#v=onepage">Seite 524 unten</a> in der Google-Buchsuche.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> W. Böhm: Die Fadenkonstruktion der Flächen zweiter Ordnung, Mathemat. Nachrichten 13, 1955, S. 151.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> O. Staude: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides. Math. Ann. 20, 147–184 (1882).

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> O. Staude: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades. Math. Ann. 27, 253–271 (1886).

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> O. Staude: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung. Math. Ann. 50, 398–428 (1898).

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851, S. 18.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> S. Finsterwalder: Über die Fadenconstruction des Ellipsoides. Mathematische Annalen Bd. 26, 1886, S. 546–556.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes. Teubner, Leipzig 1861, S. 287.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. S. 22.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes. S. 301.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> W. Blaschke: Analytische Geometrie. S. 125.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf">Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.</a> Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/15-symm.pdf">Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD.</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-04-14" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Ellipsoid&oldid=255131596">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>